Le critère de Nyquist

 

C'est une méthode graphique permettant de déterminer si le dénominateur de HBF(s) n'a pas de pôles instables à partir de la connaissance de HBO(s). Elle est basée sur le théorème de Cauchy.

                                    I.      Théorème de Cauchy

 

Im(F(s)))

 
            Soit F(s) une fonction de la variable complexe s admettant P pôles et Z zéros dans un contour fermé C. Lorsque s décrit le contour C, la courbe F(C), image de C par F(s) effectue T=P-Z tours autour de l'origine. T est compté positivement si C et F(C) sont orientés dans le même sens et négativement autrement.

Re(F(s))

 

+

 

F(C)

 

 

                                 II.      Le contour de Nyquist

 

 

 

 


Le contour d'exclusion de Nyquist G englobe tout le

demi-plan droit correspondant aux pôles et zéros à

parties réelles strictement positives de la fonction

de transfert F(s)

 

 

 

 

 

 

 

L'image de G par F(s) est le diagramme

de Nyquist de F(s)

 

 

 


 

                              III.      Enoncé et Application du critère de Nyquist

 

Ø      Enoncé

 

§         Un système en boucle fermée est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que le diagramme de Nyquist de sa transmittance en boucle ouverte  effectue autour du point -1 et dans le sens trigonométrique, un nombre de tours T égal au nombre de pôles instables P de .

Ø      Remarques

 

§         Les pôles instables et les zéros à parties réelles positives sont comptés avec leur ordre de multiplicité

§         L'intérêt du critère de Nyquist est d'étudier les conditions de stabilité du système asservi à partir du diagramme de Nyquist du système en boucle ouverte

 

Ø      Application

 

Soit P le nombre de pôles instables de 1+HBO(s) (donc de HBO(s))

Soit Z le nombre de zéros à parties réelles positives de 1+HBO(s)

 

Théorème

Le diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) effectue T=P-Z tours dans le sens trigonométrique autour de l'origine.

 

Remarques

Les zéros de 1+HBO(s) étant les pôles de HBF(s) , la condition de stabilité du système en BF impose que 1+HBO(s) ne possède pas de zéros à parties réelles positives càd Z=0  T=P

            En pratique, étudier la position du diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) par rapport à l'origine équivaut à analyser la position du diagramme de HBO(s) par rapport au point 1 appelé point critique

 

 

                             IV.      Exemple d’application

 

Ø         avec     

 

HBO(s) n'a pas de pôle instable P=0. Le nombre de tours autour de 1 est nul, T=0.

 

Le système est instable en boucle fermée

 

 

 

 

 

Ø       

 

HBO(s) a un pôle instable l=1  P=1

 

Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point 1 dans le sens trigonométrique

 

Or le nombre de tours autour de 1 est nul, T=0. Le système est donc instable en boucle fermée

 

 

 

Ø       

 

 

HBO(s) a un pôle instable l=1/4   P=1.

Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point 1 dans le sens trigonométrique

La condition de stabilité impose que OM > OC c'est-à-dire k > 1