Le critère de Routh

 

            Voici le premier critère et le plus simple permettant d’analyser la stabilité des systèmes linéaire asservis.

 

                                    I.      Intérêt du critère

 

            Soit   le dénominateur de la fonction de transfert d'un système

    avec     

 

Le critère de Routh permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique  du système sont à parties réelles positives ou non sans calculer explicitement ces racines

 

 

                                 II.      Principe du critère de Routh

 

 

Condition nécessaire :

Une condition nécessaire de stabilité est que tous les coefficients  de D(s) soient strictement de même signe.

 

Condition nécessaire et suffisante :

Si la condition nécessaire est vérifiée, if faut construire le tableau de Routh

 

Ligne 1

an

an-2

an-4

an-6

Ligne2

an-1

an-3

an-5

an-7

Ligne 3

a31

a32

a33

a34

Ligne 4

a41

a42

a43

a44

   …

 

Le tableau a au plus n+1 lignes (n : ordre de D(s))

 

De nous pouvons énoncer le critère de Routh :

Un système est asymptotiquement stable si et seulement si tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe.

 

Remarques

Ø      Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de pôles à parties réelles positives

Ø      Si dans la première colonne il existe un élément nul, le système admet au moins un pôle à partie réelle positive ou une paire de pôles conjugués imaginaires purs

 

 

                              III.      Application du critère de Routh

 

Exemples

Ø       

 

            Calculons tout d’abords la fonction de transfert en boucle fermée du système à retour unitaire :

 

 

            Calculons les coefficients  du tableau de Routh :

 

Ligne 1

1

3

Ligne2

1

10

Ligne 3

-7

0

Ligne 4

10

0

 

Petit rappel : Les coefficients du tableau de Routh sont calculer a partir de l’équation :

 

 

Conclusion :

            Il y a un changement de signe dans la première colonne du tableau :

ð     Le système en boucle fermé à retour unitaire est instable.

 

Ø       

 

            A partir de la même procédure que précédemment nous obtenons :    

Ligne 1

1

5

Ligne2

6

K

Ligne 3

 

0

Ligne 4

K

0

 

 

 

 

Et le tableau du critère de

Routh :

 

 

 

 

 

 

            Conclusion : Le système est stable si  et . Autrement dit si